En Topologie, la continuité uniforme est une définition plus contraignante que la Continuité, et se définit dans les espaces métriques ou les espaces uniformes. Contrairement à la continuité, la continuité uniforme n'est pas une notion « purement topologique » c'est-à-dire ne faisant intervenir que des ouverts : sa définition dépend de la distance ou de la structure uniforme.

Définitions et exemples

Espace métrique

Article détaillé : . Le contexte général de la définition de la continuité uniforme est celui des espaces métriques. Soient (E, d) et (F, δ) deux espaces métriques, et f une application de E dans F.

L'application f est dite uniformément continue si et seulement si :

∀ ε > 0 , ∃ η > 0 / ∀ (x,y) ∈ E × E, d (x,y) < η ⇒ δ(f (x),f (y)) < ε !

NB: La continuité « simple » de f s'écrit par comparaison :

∀ x ∈ E, ∀ ε > 0 , ∃ η > 0 / ∀ y ∈ E, d (x,y) < η ⇒ δ(f (x),f (y)) < ε !

Le terme uniforme signifie que le choix de η en fonction de ε ne dépend pas du point considéré, il est uniforme sur E.

Fonction de la variable réelle et à valeurs réelles

Si les espaces de départ et d'arrivée de la fonction f sont des intervalles de l'ensemble des nombres réels munis de la norme Valeur absolue, la définition s'écrit :

∀ ε > 0 , ∃ η > 0 / ∀ (x,y) ∈ E × E, |x-y| < η ⇒ |f (x)-f (y)| < ε !

Exemple et contre-exemple

Soit f₁ la fonction qui, à tout réel positif associe sa Racine carrée. L'application f₁ est uniformément continue. En effet, soit ε un réel strictement positif. La fonction f₁ est concave, la majoration suivante est donc vérifiée :

∀ x,y ∈ R + |

√

–– x

-

√

–– y

| ≤

√

––––––– |x-y|

Si η est égal au carré de ε la proposition suivante montre l'uniforme continuité recherchée :

∀ x,y ∈ R + |x-y| ≤ η ⇒ |f 1 (x)-f 1 (y)| = |

√

–– x

-

√

–– y

| ≤

√

––––––– |x-y|

≤

√

–– η

= ε !

Soit f₂ la fonction qui, à tout réel associe son carré. L'application f₂ n'est pas uniformément continue. En effet, montrons que :

∃ ε > 0, ∀ η > 0, ∃ (x,y) ∈ R ₊ × R ₊ , |x-y| ≤ η et |f ₂ (x)-f ₂ (y)|> ε !

Il suffit de choisir ε égal à un. Pour tout η strictement positif, soit x (resp. y) le réel égal à 1/η + η (resp. 1/η) Alors :

|x-y| ≤ η  text{et } |f 2 (x)-f 2 (y)| =|

(

1 ––– η 2

+2 η

1 –– η

+ η 2

)

-

1 ––– η 2

| = |2+ η 2 |> ε !

Ce qui termine la démonstration.

Propriétés

Fonctions lipschitziennes

Soit I un intervalle quelconque sur les nombres réels. Toute fonction k-lipschitzienne f de I dans l'ensemble des réels est uniformément continue.

En particulier, si f est dérivable et de dérivée bornée sur I, alors f est uniformément continue. En effet, si k est nul la fonction est constante et toute valeur de η satisfait la condition, sinon, ε/k est une valeur satisfaisante pour η.

Théorème de Heine

Article détaillé : .

Le théorème de Heine indique que toute fonction continue d'un espace métrique dans un espace métrique est uniformément continue si l'ensemble de départ est compact.

En particulier, toute fonction continue d'un segment de l'ensemble des réels dans un espace métrique est uniformément continue.

Prolongement par continuité

Toute fonction uniformément continue à valeurs dans un Espace complet se prolonge par continuité sur l' adhérence de son espace de départ.

Ce résultat découle du fait que l'image d'une Suite de Cauchy par une application uniformément continue est une suite de Cauchy.

Cette propriété est utilisée parfois pour définir des fonctions comme l'intégrale ou l'Exponentielle ou encore compléter des applications linéaires ou bilinéaires définies sur des espaces vectoriels normés.

Applications

Approximation uniforme des fonctions continues par les fonctions en escalier

Soit f une fonction continue sur un segment et soit ε un réel strictement positif. Alors il existe une Fonction en escalier φ sur , telle que : ∀ x ∈ , |f (x) - ϕ(x)| < ε On utilise pour cela le fait que f est uniformément continue (théorème de Heine), et on découpe l'intervalle en n sous-intervalles de longueur b - a/ n inférieure au η intervenant dans la définition de l'uniforme continuité. On montre alors que la fonction φ valant f(a + k( b - a)/ n) sur l'intervalle convient.

Intégrale de Riemann

Article détaillé : . Soit E l'espace vectoriel des fonctions bornées sur l'intervalle , muni de la norme de la Convergence uniforme. Soit F le sous-espace des fonctions en escalier sur . Il est aisé de définir l'intégrale I(φ) d'une telle fonction en escalier φ, au moyen d'une somme finie :

I ( ϕ) =

n - 1 Σ i = 0

(a i + 1 -a i ) ϕ i

Si φ est constante égale à φ_i sur l'intervalle ]a_i, a_i+1. On montre alors que I est une fonction lipschitzienne sur F, donc uniformément continue, elle se prolonge à l'adhérence de F dans E. Cette adhérence constitue l'espace des fonctions réglées, et contient les fonctions continues. On a défini ainsi l'intégrale de Riemann des fonctions réglées.

Approximation des fonctions continues par les polynômes

Article détaillé : .

Soit f une fonction bornée sur . Considérons la suite de polynômes :

P n (x) =

n Σ k = 0

f

(

k –– n

)

(

n k

)

x k (1-x) n-k

Si f est continue en x, on montre que la suite (P_n(x)) converge vers f(x). Si f est continue sur et donc uniformément continue, on montre que la suite (P_n) converge uniformément vers f sur . Ce résultat constitue une version constructive du théorème de Stone-Weierstrass.

Espace vectoriel normé

Article détaillé : . Soit E un espace vectoriel normé, il n'est pas nécessairement complet. Or la complétude se révèle une propriété importante pour l'étude d'espaces fonctionnels. Elle permet par exemple d'utiliser le théorème de Hahn-Banach ou de Banach-Steinhaus.

Il existe une technique permettant de compléter un espace métrique (cf Espace complet). Appliqué à E, il devient nécessaire de prolonger l'addition et la multiplication externe pour disposer d'un espace métrique complet, encore appelé Espace de Banach. Des propriétés d'uniforme continuité sont utilisées dans ce contexte. Ces techniques restent valables pour un espace munis d'un produit scalaire.